Есть ли в этом предложении деепричастный оборот? И он, боясь кануть в безвестность, вопреки своим желаниям, поддерживал эту репутацию дерзкими выходками на вечерах.

1) Выделяем сказуемое в предложении, от которого будем задавать вопрос:

Он (что делал?) поддерживал. Поддерживал - сказуемое.

2) Поддерживал (как?) боясь кануть в безвестность.

3) Есть суффикс - я-, который является одним из суффиксов деепричастия, и тем самым помогает не перепутать его с обстоятельством.