Как правильно сказать по-русски - бегите или бежите? Объясните свою точку зрения. Приведите примеры.

Обе данные формы являются правильными и существуют в русском языке, но имеют разные значения и употребляются, соотвественно, в разных ситуациях. Бежите - форма настоящего времени множественного числа второго лица. Она используется в контекстах типа "Вы бежите вдоль улицы" и т. д.

Форма "бегите" - форма повелительного наклонения множественного числа. Она употребляется чаще всего в побудительных предложениях типа "Бегите в сад!". Соотвественно, во второй форме присутствует значение побуждения к действию, которое отсутсвует в первой форме. Обе эти формы являются формами глагола "бежать".