В далеке или вдалеке?

Вдалеке - наречие. Допускается только слитный вариант его написания.

Вдалеке маячил высокий памятник.

Мы увидели красивый дом вдалеке.

Это наречие указывает на место, где расположен предмет или происходит какое-то событие.

Часто "вдалеке" пишут раздельно, как бы различая предлог и существительное. Но стоит запомнить, что слова "далеке" в русском языке не существует, поэтому слитное написание невозможно.

Хотя есть слова, в которых возможны два варианта написания: вначале - в начале, вдали - в дали. Правописание зависит от конкретного контекста.