Как написать, граф получивший или полученный письмо

Граф, получивший письмо. Это будет правильным вариантом написания данной фразы. Слово "получивший" - это действительное причастие в прошедшем времени. Можно перефразировать, граф, тот который получил письмо.

"Граф, полученный письмо" - так писать недопустимо, так как "полученный" - это страдательное причастие. Употребляется в значении принятый кем-нибудь от кого-нибудь. Полученным может быть, например конверт или письмо, телеграмма.