Что общего у слов, входящих в следующие пары: ветвь и ветка, ветошь и ветхий, живой и жизнь, клятва и прокляну

Рассмотрим данные слова отдельно.

1) Ветвь и ветка. Данные слова являются синонимами, а также имеют общий корень.

2) Живой и жизнь. Приведённые слова имеют схожее значение (если слова имеют прямое значение, так как слово "живой" относится к существам, который обладают жизнью). Также эти слова имеют общий корень, в котором последняя последняя буква чередуется ("в" и "з").

3) Клятва и прокляну. Данные слова имеют общий корень с чередующей буквой в конце корня ("в" и "к").