До какой высоты следует налить жидкость в цилиндрический сосуд радиусом R, чтобы сила давления жидкости на дно сосуда превысила её давления на боковую поверхность в 2 раза?

Давление жидкости (например, в сосуде) называют гидростатическим. Для него характерно то, что в любой точке её объёма оно одинаково во всех направлениях.

То есть на дне сосуда давление будет одинаковым - и на дно и на боковую стенку. Но чем выше мы будем подниматься "по стенке", тем больше будет падать давление на неё, а у поверхности оно, вообще, сведется к нулю.

По этой причине, говоря о давлении на всю боковую поверхность (стенку), имеют ввиду его усреднённое значение, которое будет половинным от значения "у самого дна".

Принимая это обстоятельство во внимание, а также формулу давления в жидкости p = ρgh (где h - высота столба жидкости) и формулу силы давления - F = pS, где p - давление, F - сила, давящая на определённую площадь, S - площадь, к которой приложена эта сила, - сравним силы давления на дно и боковую стенку нашего сосуда.

F дно = ρgh * S дна = ρgh * πR² (сосуд цилиндрический, в его основании лежит круг).

F стенк = (ρgh * S стенк) / 2 (помним об усреднённом, половинном значении давлении на всю боковую стенку!) = (ρgh * 2πR * h) / 2 (сосуд цилиндрический, площадь его боковой стенки есть прямоугольник, "завёрнутый в трубочку" по длине окружности дна).

Теперь нужно составить уравнение, при котором будет верно условие F дно = 2 F стенк.

Произведя нехитрые преобразование, получим

F дно / F стенк = 2;

(ρgh * πR²) / ((ρgh * 2πR * h) / 2) = 2;

(πR²) / ((2πR * h) / 2) = 2;

R/h = 2; h = R/2. Таким образом, в сосуд нужно налить жидкость на высоту, равную половине его радиуса, чтобы сила давления жидкости на дно сосуда превысила её давления на боковую поверхность в 2 раза, - по условиям нашего примера.