На доске длиной l = 4 м и массой M = 30 кг качаются два мальчика массами m1 = 30 кг и m2 = 40 кг. Где должна быть точка упоры у доски, если мальчики сидят на концах доски?

Дано:

L = 4 метра - длина доски;

M = 30 килограмм - масса доски;

m1 = 30 килограмм - масса первого мальчика;

m2 = 40 килограмм - масса второго мальчика.

Требуется определить точку упора у доски l (метр).

Предположим, что первый мальчик сидит слева, а второй справа. Тогда, для того, чтобы доска находилась в равновесии, должно соблюдаться условие:

F1 * l1 + l1 * F11 = F2 * l2 + l2 * F22, где F1, F2, - силы, действующие на мальчиков, а F11 и F22 - силы тяжести, действующие на участки доски.

m1 * g * l1 + l1 * М * g * l1 / L = m2 * g * l2 + l2 * M * g * l2 / L;

m1 * l1 + l1^2 * M / L = m2 * g + l2^2 * M / L.

так как l1 + l2 = L, то l2 = L - l1, тогда:

m1 * l1 + l1^2 * M / L = m2 * (L - l1) + (L - l1) ^2 * M / L;

m1 * l1 + l1^2 * M / L = m2 * (L - l1) + (L^2 - 2 * l1 * L + l1^2) * M / L;

30 * l1 + l1^2 * 30 / 4 = 40 * (4 - l1) + (4^2 - 2 * 4 * l1 + l1^2) * 30 / 4;

30 * l1 + 7,5 * l1^2 = 160 - 40 * l1 + (16 - 8 * l1 + l1^2) * 7,5;

30 * l1 + 7,5 * l1^2 = 160 - 40 * l1 + 120 - 60 * l1 + 7,5 * l1^2

30 * l1 = 280 - 100 * l1;

130 * l1 = 280

l1 = 280 / 130 = 2,15 метр;

l2 = L - l1 = 4 - 2,15 = 1,85 метра.

Ответ: точка упора должна быть на расстоянии 2,15 метра от мальчика с меньшей массой или 1,85 метров от мальчика с большей массой.