В правильном треугольнике ABC на стороне AВ взяли точку E и на отрезке EC построили в сторону точки B правильный треугольник EKC. Докажите, что прямые AC и BK параллельны.

Правильный треугольник - это равносторонний треугольник.

1) продолжим отрезки ВК и АС влево и вправо (чтобы ВК и АС стали прямыми)

2) тогда ЕК - секущая (тоже продолжим её влево и вправо, чтобы ЕК стала прямой)

3) докажем, что угол ВКЕ равен углу ЕХС (где Х - точка на пересечении прямой АС и ЕК)

4) Рассмотрим треугольники АХЕ и ВХК

1. угол ХЕА = углу ВЕК (как вертикальные)

2. Докажем, что угол ХАЕ = углу ЕВК

1) угол ХАЕ=180-угол ЕАС=180-60=120 градусов

2) угол ЕВК=60+угол КВО (где точка О является точкой пересечения прямых ЕК и ВС)

Найдём угол КВО

Для этого докажем, что треугольник АЕС равен треугольнику СВК

рассмотрим углы АСВ и ЕСК, которые равны 60 градусам (по определению равностороннего треугольника)

узнаем, что угол АСЕ = углу ВСК

(АСЕ=60-ЕСВ, ВСК=60-ЕСВ)

сторона АС = стороне ВС (тр. АВС равносторонний по условию)

сторона ЕС = стороне КС (тр. ЕКС равносторонний по условию)

следовательно треугольник АЕС равен треугольнику СВК по двум сторонам и углу между ними)

Значит, угол ЕАС = углу КВО = 60 градусов

угол ЕВК = 60+60=120

следовательно угол ХАЕ=ЕВК=120 градусов

3) угол ВКЕ = 180-120-вертикальный угол ВЕК

4) угол ЕХС = 180-120 - вертикальный угол ХЕА

следовательно угол ВКЕ равен углу ЕХС

5) И значит угол ВКЕ и угол ЕХС накрест лежащие углы при двух прямых ВК и АС

6) следовательно прямые ВК и АС параллельны

7) ч. т. д.