В треугольнике две стороны равны 15 см и 16 см, а угол между ними 120 градусов. найти третью сторону треугольника.

Согласно теореме косинусов, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a2 = b2 + c2 - 2 * b * c * cos α.

Квадрат неизвестной стороны данного треугольника равен:

a2 = 152 + 162 - 2 * 15 * 16 * cos 120 = 225 + 256 - 480 * (-0,5) = 721.

Искомая сторона равна:

а = √721 ≈ 26,85 см.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Теорема косинусов

Теорема косинусов может быть применена, если в задаче из геометрии необходимо найти какую-то сторону треугольника, при этом известны такие величины:

Одна сторона треугольника. Вторая сторона треугольника. Угол между первой и второй сторонами.

Теорема косинусов формулируется следующим образом: квадрат неизвестной стороны треугольника равен сумме квадратов двух известных сторон, минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между этими сторонами. Формула для теоремы косинусов:

c² = a² + b² - 2 * a * b * cos α,

где c - неизвестная сторона треугольника, a и b - известные стороны треугольника, α - угол между сторонами a и b. При этом необходимо понимать, что если угол тупой, то его косинус всегда можно вычислить по формулам приведения из тригонометрии, например, если дан угол в 150 градусов, то его косинус равен: cos 150 = cos (180 - 150) = - cos 30, так как, при вычитании из угла 180 угла в 150 градусов, мы попадаем во вторую координатную четверть, где косинус отрицательный.

Вычисляем сторону треугольника с помощью теоремы косинусов

В нашем случае:

a = 15 см, b = 16 см, α = 120 градусов, значит, cos 120 = cos (180 - 120) = - cos 60 = - 0.5. Тогда, чтобы найти сторону c, нам необходимо составить следующее уравнение:

c² = 15² + 16² - 2 * 15 * 16 * (-cos 60);

c² = 225 + 256 + 2 * 15 * 16 * 0.5 (так как умножение минуса на минус даёт плюс);

c² = 481 + 240;

c² = 721;

c = 26.85 см (по правилам, у квадратного уравнения ещё есть отрицательный корень, то этот вариант мы не рассматриваем, так как имеет дело с треугольником, сторона которого не может быть меньше нуля).

Ответ: сторона треугольника равна 26.85 см.