В треугольнике две стороны равны 15 см и 16 см, а угол между ними 120 градусов. найти третью сторону треугольника.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Теорема косинусов

Теорема косинусов может быть применена, если в задаче из геометрии необходимо найти какую-то сторону треугольника, при этом известны такие величины:

Одна сторона треугольника. Вторая сторона треугольника. Угол между первой и второй сторонами.

Теорема косинусов формулируется следующим образом: квадрат неизвестной стороны треугольника равен сумме квадратов двух известных сторон, минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между этими сторонами. Формула для теоремы косинусов:

c² = a² + b² - 2 * a * b * cos α,

где c - неизвестная сторона треугольника, a и b - известные стороны треугольника, α - угол между сторонами a и b. При этом необходимо понимать, что если угол тупой, то его косинус всегда можно вычислить по формулам приведения из тригонометрии, например, если дан угол в 150 градусов, то его косинус равен: cos 150 = cos (180 - 150) = - cos 30, так как, при вычитании из угла 180 угла в 150 градусов, мы попадаем во вторую координатную четверть, где косинус отрицательный.

Вычисляем сторону треугольника с помощью теоремы косинусов

В нашем случае:

a = 15 см, b = 16 см, α = 120 градусов, значит, cos 120 = cos (180 - 120) = - cos 60 = - 0.5. Тогда, чтобы найти сторону c, нам необходимо составить следующее уравнение:

c² = 15² + 16² - 2 * 15 * 16 * (-cos 60);

c² = 225 + 256 + 2 * 15 * 16 * 0.5 (так как умножение минуса на минус даёт плюс);

c² = 481 + 240;

c² = 721;

c = 26.85 см (по правилам, у квадратного уравнения ещё есть отрицательный корень, то этот вариант мы не рассматриваем, так как имеет дело с треугольником, сторона которого не может быть меньше нуля).

Ответ: сторона треугольника равна 26.85 см.

Согласно теореме косинусов, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a2 = b2 + c2 - 2 * b * c * cos α.

Квадрат неизвестной стороны данного треугольника равен:

a2 = 152 + 162 - 2 * 15 * 16 * cos 120 = 225 + 256 - 480 * (-0,5) = 721.

Искомая сторона равна:

а = √721 ≈ 26,85 см.