Докажите, что если биссектрисы углов AOB и BOC перпендикулярны, то точки A, O и C лежат на одной прямой

Пусть OM и OK - биссектрисы ∠AOB и ∠BOC соответственно.

Так как по условию биссектрисы OM и OK перпендикулярны, то угол между ними равен 90°. Таким образом:

∠MOB + ∠BOK = 90°.

Так как OM - биссектриса ∠AOB, то:

∠MOB = ∠AOB/2.

Так как OK - биссектриса ∠BOC, то:

∠BOK = ∠BOC/2.

Таким образом:

∠AOB/2 + ∠BOC/2 = 90°;

(∠AOB + ∠BOC) / 2 = 90°;

∠AOB + ∠BOC = 2 * 90°;

∠AOB + ∠BOC = 180°.

Так как сумма ∠AOB и ∠BOC равна 180°, то они являются смежными, а их стороны OA и OC являются продолжениями друг друга, то есть составляют вместе развернутый ∠AOC, который является по сути прямой линией. Таким образом, точки A, O и C лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.