1) Даны векторы a (0; 1) и b (2; 1). При каком значении х вектор b+xa перпендикулярен вектору b? 2) Векторы AB (3; 4) и AD (4; 3) яляются сторонами параллелограмма ABCD. Определите величину угла между его диагоналями. Варианты ответов: а) 45 градусов б) 90 градусов в) 30 градусов г) 75 градусов д) 60 градусов

1. Вектор b + xa имеет координаты (2 + х * 0; 1 + х * 1) = (2; 1 + х).

Чтобы векторы b и b + ха были перпендикулярны, нужно, чтобы скалярное произведение этих векторов равнялось 0.

2 * 2 + 1 * (1 + х) = 0;

4 + 1 + х = 0;

х = - 5.

При х = - 5 векторы b и b + ха перпендикулярны.

2. Вектор АС = АВ + АD = (3 + 4; 4 + 3) = (7; 7).

Вектор BD = AD - AB = (4 - 3; 3 - 4) = (1; - 1).

Скалярное произведение AC * BD = | AC | * | BD | * cos α.

Cosα = (AC * BD) / (| AC | * | BD |) = (7 * 1 + 7 * ( - 1)) / (√ (7² + 7²) * √ (1² + 1²)) = (7 - 7) / (7√2 * √2) = 0.

Т. к. скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Ответ: угол между диагоналями параллелограмма 90°.