Напишите квадратное уравнение, корни которого в 2 раза меньше чем корни уравнения 4x^{2} - 12 х+3=0

1. Найдем корни уравнения:

4x² - 12 х + 3 = 0.

Дискриминант:

D = b² - 4ac = (-12) ² - 4*4*3 = 144 - 48 = 96.

х = ( - b + / - √D) / 2 а.

х1 = ( - (-12) + √96) / 2*4 = (12 + 4√6) / 8 = (3 + √6) / 2.

х2 = ( - (-12) - √96) / 2*4 = (12 - 4√6) / 8 = (3 - √6) / 2.

2. Так как по условию корни нового уравнения меньше в 2 раза, то:

х′1 = х1/2 = ((3 + √6) / 2) / 2 = (3 + √6) / 4.

х′2 = х2/2 = ((3 - √6) / 2) / 2 = (3 - √6) / 4.

3. По теореме Виета:

х′1 + х′2 = - b (коэффициент при х в новом уравнении);

х′1*х′2 = с (свободный член в новом уравнении).

Найдем коэффициент - b:

- b = (3 + √6) / 4 + (3 - √6) / 4 = (3 + √6 + 3 - √6) / 4 = 6/4 = 3/2.

Найдем свободный член с:

с = ((3 + √6) / 4) * ((3 - √6) / 4) = ((3 + √6) (3 - √6)) / 16 = (9 - 6) / 16 = 3/16.

Новое уравнение будет иметь вид:

x² - 3 х/2 + 3/16 = 0.

Избавимся от дробей, домножив все уравнение на 16:

16 (x² - 3 х/2 + 3/16) = 16*0;

16x² - 16*3 х / 2 + 16*3 / 16 = 0;

16x² - 8*3 х + 3 = 0;

16x² - 24 х + 3 = 0.

Ответ: 16x² - 24 х + 3 = 0.