48 шаров разложили на три попарно неравные кучки. Если из первой кучки переложить во вторую столько шаров, сколько в этой второй кучке было, затем из второй в третью переложить столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, и из третьей переложить в первую столько шаров, сколько в этой первой кучке будет тогда находиться, то шаров во всех кучках станет одинаковое количество. Сколько шаров было в каждой кучке первоначально? Выведите через пробел количества шаров в первой, второй и третьей кучках.

Обозначим X - количество шаров в первой кучке, Y - во второй, Z - в третей;

Первоначально в кучках X, Y. Z шаров

Переложили Y шаров из первой кучки во вторую Y шаров, стало X - Y, 2Y, Z шаров;

Переложили Z шаров из второй кучки в третью, стало X - Y, 2Y - Z, 2Z шаров;

Переложили X - Y шаров из третьей кучки в первую, стало 2X - 2Y, 2Y - Z, 2Z - (X - Y) шаров;

Поскольку в каждой кучке 48 / 3 = 16 шаров, получаем

2X - 2Y = 16; 2Y - Z = 16; 2Z - (X - Y) = 16;

X - Y = 16 / 2 = 8; 2Z - 8 = 16; Z = 12;

2Y - 12 = 16; Y = 28 / 2 = 14;

X = Y + 8 = 14 + 8 = 22;

Первоначально в кучках было 22, 14 и 12 шаров.

Обозначение переменных

Пусть:

Количество шаров в первой кучке - x. Количество шаров во второй кучке - y. Количество шаров в третьей кучке - z.

Тогда х+y+z=48.

Перекладывание

На начало перекладывания в кучках x; y; z шаров.

Последовательно идем по условию задачи.

x-y; 2y; z (то есть прибавляем ко второй куче и вычитаем из первой кучи столько шаров, сколько было во второй куче - y). x-y; 2y-z; 2z (то есть прибавляем к третьей куче и вычитаем из второй кучи столько шаров, сколько было в третьей куче - z). 2x-2y; 2y-z; 2z-x+y (то есть прибавляем к первой куче и вычитаем из третьей кучи столько шаров, сколько получилось в первой куче - x-y).

В итоге выходит, что 2x-2y = 2y-z = 2z-x+y = 16 (так как всего шаров 48, каждая кучка стала равна трети этого числа).

Решение

Возьмем уравнения 2x-2y=16 и 2z-x+y=16 в систему.

{2x-2y=16;

2z-x+y=16.

Умножим второе уравнение на 2.

{2x-2y=16;

4z-2x+2y=32.

Теперь, если мы сложим эти уравнения, мы избавимся от x и y. Останется 4z=48, то есть просто z=12.

Возьмем уравнение 2y-z=16. Перенесем z вправо: 2y=16+z. Значение z у нас уже есть. Тогда 2y=28, а y=14.

Теперь можно вычислить x большим количеством способов. Мы для этого возьмем самое-самое первое уравнение: х+y+z=48. Перенесем вправо y и z: x=48-y-z. Значения y и z у нас уже есть. Подставим их: x=48-14-12=22.

Ответ

22 14 12