К чему приводит увелечение в 2 раза числа, записанного в двоичной системе счисления

Покажем, что увеличение в 2 раза числа, записанного в двоичной системе счисления равносильно добавлению одного нуля справа в записи этого числа в двоичной системе счисления.

Пусть имеется двоичное число а1 а2 а3 ... аn, где цифры а1, а2, а3, ..., аn это либо 0, либо 1.

Тогда имеет место следующее соотношение:

а1 а2 а3 ... аn₂ = а1 * 2^ (n - 1) + а2 * 2^ (n - 2) + а3 * 2^ (n - 3) + ... аn * 2^0.

Умножая выражение в правой части данного соотношения на 2, получаем:

2 * (а1 * 2^ (n - 1) + а2 * 2^ (n - 2) + а3 * 2^ (n - 3) + ... аn * 2^0) = а1 * 2^ (n - 1 + ) + а2 * 2^ (n - 2 + 1) + а3 * 2^ (n - 3 + 1) + ... аn * 2^ (0 + 1) = а1 * 2^n + а2 * 2^ (n - 1) + а3 * 2^ (n - 2) + ... аn * 2^1 = а1 * 2^n + а2 * 2^ (n - 1) + а3 * 2^ (n - 2) + ... аn * 2^1 + 0 * 2^0 = а1 а2 а3 ... аn0₂,

что и требовалось доказать.