В каких областях науки русские учёные второй половины 19 века достигли самых заметных успехов?

В первую очередь следует упомянуть изобретение радиотелеграфа Поповым - это событие мирового масштаба.

Кроме того, российские ученные достигли успехов в математике (отмети Чебышева, Ляпунова, Кавалевскую); в сфере фотоэлектрических явлений большую роль сыграл А. Г. Столетов; Яблочков и Лодыгин были успешны в электротехнике.

Золотым веком химии в России считаются 60-70 гг., в это время работали Бутлеров и Менделеев.

Начало современному почвоведению положил В. В. Докучаев на основе достижений в биологии и химии.

А для физиологии в то же время основоположником стал И. М. Сеченов.

В сфере микробиологии и бактериологии больших успехов добился И. И. Мечников.

И не стоит забывать об истории: именно во второй половине 19-го века И. М. Соловьёв написал 29 томов об истории России с древнейших времён до 1775 года. Его "История" стала современной заменой трудов Карамзина.