В чём разница горе уму от горе от ума

Это два абсолютно отличных друг от друга выражения. В первом случае имеется в виду то, что человек, который не обладает умственными познаниями, начинает пытаться умничать, дабы показать какой он якобы умный и начитанный человек. Во втором же случае, смысл заключается в том, что человек обладает приличным складом ума и при этом всячески об этом заявляет, чтобы все об этом знали, то бишь попросту хвастается.