5 а^2 + 4a - 2ab + b^2 + 2 > 0 Доказать неравенство

Представим 5 а² в виде суммы (a² + 4a²), а число 2 как (1 + 1)

a² + 4a² + 4a - 2ab + b² + 1 + 1 > 0.

Поменяем одночлены местами:

a² - 2ab + b² + 4a² + 4a + 1 + 1 > 0.

Можно свернуть многочлен по формулам квадрата разности a² - 2ab + b² = (а - b) ² и квадрата суммы a² + 2ab + b² = (а + b) ².

(a² - 2ab + b²) + (4a² + 4a + 1) + 1 > 0.

(a - b) ² + (2a + 1) ² + 1 > 0.

Так как квадрат любого числа положительный, то и сумма трех положительных чисел будет положительной. Что и требовалось доказать.