В треугольнике АВС АВ=14 см, АС=15 см, ВС=13 см. 1) Найдите длину меньшей высоты треугольника 2) Площадь треугольника АДС, если АД-биссектриса треугольника АВС 3) медиану АЕ треугольника АВС

Найдем площадь треугольника по формуле Герона.

Полупериметр:

р = (14 + 15 + 13) / 2 = 42/2 = 21.

S = √21 * (21 - 14) (21 - 15) (21 - 13) = √21*7*6*8 = √7056 = 84 (см^2).

1. Меньшей высотой треугольника является та высота, которая проведена к большей стороне, поэтому высота ВН, проведенная к стороне АС, - меньшая.

Длина высоты вычисляется по формуле:

h = 2S/a,

где а - сторона, к которой проведена высота.

ВН = 2*84/15 = 168/15 = 11,2 (см).

2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, тогда:

BD/DC = AB/AC;

BD + DC = ВС.

Система уравнений:

BD/DC = 14/15;

BD + DC = 13.

Во втором уравнении выразим BD через DC:

BD = 13 - DC.

Полученное выражение подставим в первое уравнение системы:

(13 - DC) / DC = 14/15.

По пропорции:

15 (13 - DC) = 14 DC;

195 - 15DC = 14 DC;

29DC = 195;

DC = 195/29 см.

Используя значение DC, найдем BD:

BD = 13 - 195/29 = (377 - 195) / 29 = 182/29 (см).

Биссектриса АD делит треугольник АВС на два треугольника, площади которых пропорциональны отрезкам, на которые биссектриса делит сторону, на которую она опущена. Тогда:

SADB / SADC = BD/DC;

SADB / SADC = 182/29 : 195/29 = 182/29 * 29/195 = 182/195.

Сумма площадей треугольников SADB и SADC будет равна сумме исходного треугольника АВС:

SADB + SADC = 84.

Система уравнений:

SADB / SADC = 182/195;

SADB + SADC = 84.

Во втором уравнении выразим SADB через SADC:

SADB = 84 - SADC.

Полученное выражение подставим в первое уравнение системы:

(84 - SADC) / SADC = 182/195.

По пропорции:

195 (84 - SADC) = 182SADC;

16380 - 195SADC = 182SADC;

182SADC + 195SADC = 16380;

377SADC = 16380;

SADC = 16380/377;

SADC = 1260/29 = 43 целых 13/29 (см^2).

3. Медиана треугольника находится по формуле:

m = ½ √ (2b^2 + 2c^2 - a^2),

где а - сторона треугольника, к которой проведена медиана, b и c - другие стороны.

АЕ = ½ √ (2 * АС^2 + 2 * АВ^2 - ВС^2);

АЕ = ½ √ (2 * 15^2 + 2 * 14^2 - 13^2) = ½ √ (2 * 225 + 2 * 196 - 169) = ½ √ (450 + 392 - 169) = √ (673) / 2 (см).

Ответ: ВН = 11,2 см, SADC = 43 целых 13/29 см^2, АЕ = √ (673) / 2 см.