Докажите, что (7+5*) ^ + (7-5*) ^ - натуральное число.

Задание записано не совсем точно, оно должно выглядеть так:

(7 + 5√2) ^1/3 + (7 - 5√2) ^1/3.

Давайте представим в виде куба суммы и куба разности выражения, которые записаны в скобках.

(7 + 5√2) и (7 - 5√2).

Вспомним формулы сокращенного умножения куб суммы и разности:

(a + b) ^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;

(a - b) ^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.

1) (1 + √2) ^3 = 1 + 3√2 + 6 + 2√2 = 7 + 5√2.

2) (1 - √2) ^3 = 1 - 3√2 + 6 - 2√2 = 7 - 5√2.

Получаем выражение:

(7 + 5√2) ^1/3 + (7 - 5√2) ^1/3 = (1 + √2) ^3 * 1/3 + (1 - √2) ^3 * 1/3 = 1 + √2 + 1 - √2 = 2.