Разложить на множители 12m^5n+24m^4n+12m^3n

Воспользуемся свойством степени числа:

m^ (a + b) = m^a * m^b;

В нашем случае:

12 * m^ (5n) + 24 m^ (4n) + 12 * m^ (3n) = 12 * m^ (3n + 2n) + 24 m^ (3n + n) + 12 * m^ (3n) = 12 * m^ (3n) * m^ (2n) + 24 * m^ (3n) * m^n + 12 * m^ (3n);

Далее, вынесем за скобки (12 * m^ (3n)). Получим:

12 * m^ (3n) * (m^ (2n) + 2 * m^n + 1) = 12 * m^ (3n) * ((m^n) ^ 2 + 2 * m^n + 1);

Выражение в последнем множителе является полным квадратом:

(m^n) ^ 2 + 2 * m^n + 1 = (m^n + 1) ^2;

В итоге, получаем ответ:

12 * m^ (3n) * (m^n + 1) ^2.