Решить Тригонометрическое уравнение: 3sin²x+4cos²x-13sinx∗cosx=0

Решим данное тригонометрическое уравнение, которого перепишем в виде: 3 * sin²x - 13 * sinx * cosx + 4 * cos²x = 0. Предположим, что cos²x ≠ 0 и разделим обе части данного уравнения на cos²x. Тогда, используя формулу tgα = sinα / cosα, можно переписать данное уравнение в виде: 3 * tg²х - 13 * tgх + 4 = 0. Введём новую переменную у = tgх. Тогда получим следующее квадратное уравнение: 3 * у² - 13 * у + 4 = 0. Это квадратное уравнение имеет два различных корня, так как его дискриминант D = (-13) ² - 4 * 3 * 4 = 169 - 48 = 121 > 0. Вычислим их: у₁ = (13 - √ (121)) / (2 * 3) = (13 - 11) / 6 = 1/3 и у₂ = (13 + √ (121)) / (2 * 3) = (13 + 11) / 6 = 4. Исследуем каждый корень по отдельности. А) При у = 1, имеем tgх = 1/3. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующее решение: х = arctg (1/3) + π * m, где m - целое число. Б) При у = 4, имеем tgх = 4. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующее решение: х = arctg4 + π * k, где k - целое число.

Ответ: х = arctg (1/3) + π * m и х = arctg7 + π * k, где m и k - целые числа.