Найдите максимальное целое число x, для которого существует целое y, такое что пара (x, y) является решением уравнения x^2-xy-2y^2=9

Нам задано выражение x^2 - xy - 2y^2 = 9, известно, что х и у - целые числа.

Найдем пару максимальное целых чисел (х; у) для которых выполняется данное равенство.

Решать задачу будем по алгоритму:

разложим выражение в левой части уравнения на множители; подберем возможные значения для множителей из левой части уравнения; находим целые решения уравнения; выбираем максимальное целое решение уравнения. Разложим на множители левую часть равенства

Чтобы разложить на множители выражение в левой части уравнения представим слагаемое - ху в виде: ху - 2 ху, получим:

x^2 + xy - 2xy - 2y^2 = 9;

x (x + y) - 2y (x + y) = 9;

(x + y) (x - 2y) = 9.

Так как корнями уравнения являются целые числа, то и выражения (х + у) и (х - 2 у) - целые числа.

Подбираем возможные значения множителей левой части уравнения и находим целые решения

В правой части уравнения разложим на простые множители число 9.

9 = 1 * 9 = ( - 1) * ( - 9) = 3 * 3 = ( - 3) * ( - 3).

Значит возможны такие варианты значений выражений:

х + у = ∓ 1, а х - 2 у = ∓ 9;

Последовательно найдем разность каждого из выражений:

(х + у) - (х - 2 у) = х + у - х + 2 у = 3 у = ∓ 8;

3 у = ∓ 8;

у = ∓ 8/3 - в результате мы получаем у не целым числом.

х + у = ∓ 9, а х - 2 у = ∓ 1.

(х + у) - (х - 2 у) = х + у - х + 2 у = 3 у = ∓ 8;

3 у = ∓ 8;

у = ∓ 8/3 - у не целое число.

Остается только один вариант:

х + у = ∓ 3; х - 2 у = ∓ 3.

Находим разность выражений:

(х + у) - (х - 2 у) = х + у - х + 2 у = 3 у = 0.

3 у = 0;

у = 0.

Данное решение нам подходит (так как ноль является целым числом).

Найдем значение переменной х.

х + у = ∓ 3;

х = ∓ 3.

Выбираем максимальное целое решение уравнения

Целым решение уравнений является две пары чисел ( - 3; 0) и (3; 0).

Пара максимально целых чисел (3; 0).

Ответ: (3; 0).

Решим уравнение x^2 - xy - 2y^2 = 9 как квадратное относительно х:

x^2 - xy - 2y^2 - 9 = 0;

D = ( - у) ^2 - 4 * ( - 2y^2 - 9) = у^2 + 8 у^2 + 36 = 9 (у^2 + 4).

Из двух возможных значений х наибольшим будет то, которое вычисляется по формуле со знаком плюс перед дискриминантом:

х = ( - ( - у) + √ (9 (у^2 + 4))) / (2 * 1) = (у + 3√ (у^2 + 4)) / 2.

Так как х и у должны быть целыми числами, то значение выражения должно быть хотя бы рациональным числом, что возможно только при у = 0:

х = (0 + 3 * √ (0^2 + 4)) / 2 = 6 / 2 = 3.

Ответ: 3.