В один ряд расположены 1000 фишек. Любые две фишки, расположенные через одну, разрешается поменять местами. Можно ли переставить фишки в обратном порядке?

Пронумеруем все фишки. Получится ряд чисел от 1 до 1000. Если менять местами фишки, стоящие через одну, они меняют номера, но чётность номеров не меняется. Фишки с нечетными номерами получают новые нечетные, а с четными - четные. Чтобы переставить фишки в обратном порядке, нужно поместить фишку с нечетным номером 1 на место фишки с четным номером 1000 и наоборот, то есть поменять четность номеров этих фишек, что при данных условиях перестановок невозможно.

Ответ: Нельзя.