4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-ции y = -x^2+3x+4 и прямой y=0

Вычислим промежутки интегрирования, для этого находим точки пересечения двух функций, получим:

-x² + 3 * x + 4 = 0,

x² - 3 * x - 4 = 0.

По теореме Виета находим два вещественных корня:

x = 4,

x = - 1.

Т. к. a > 0, то требуется найти площадь, ограниченную параболой выше оси Ох, т. е.:

s = интеграл (от - 1 до 4) (-x² + 3 * x + 4) dx = - x³ / 3 + 3 * x² / 2 + 4 * x (от - 1 до 4) = - 64 / 3 + 24 + 16 - 1 / 3 - 3 / 2 + 4 = 125 / 6 ед².

Ответ: искомая площадь равна 125 / 6 ед².