В классе учится 16 человек: 6 мальчиков и 10 девочек. Перед началом уроков классный руководитель случайным образом выбирает двух учащихся класса для дежурства в столовой. Какова вероятность, что дежурить в столовую отправятся мальчик с девочкой?

Вероятность, что классный руководитель выберет мальчика равна 6/16, а девочку - 10/16.

Мальчик с девочкой отправятся дежурить в столовую в том случае, если классный руководитель выберет сначала девочку, а потом мальчика, либо наоборот.

В этих случаях вероятность будет равна:

(10/16) * (6/16) + (6/16) * (10/16) = 60/256 + 60/256 = 120/256 = 15/32 = 0,46875;

Или:

0,46875 * 100% = 46,875%;

Ответ: вероятность того, что дежурить в столовую пойдут мальчик с девочкой равна 15/32 или 46,875%.

В данной задаче нам нужно дать ответ, с какой вероятностью классная руководительница выберет на дежурство пару, состоящую из мальчика и девочки, если в классе учится 6 мальчиков и 10 девочек, а выбор производится случайным образом.

Правильный ответ: 0,5.

Такой ответ можно получить, используя два разных алгоритма.

Решение с использованием формулы сочетаний без повторений

Решая задачи такого типа, нужно знать основные формулы комбинаторики:

Количество перестановок без повторений: P_n = n!; Количество сочетаний без повторений^: Cn^m = n! / ((n - m) ! x m!); Количество размещений без повторений: Anm = (n - m + 1) x ... x (n - 1) x n.

Формула перестановок нам нужна тогда, когда нам нужно понять, сколькими способами можно переставить определенное количество объектов. Формула сочетаний используется при ответе на вопрос "Сколько существует способов, чтобы выбрать из n предметов m предметов?". И, наконец, формула размещений необходима, когда требуется узнать, сколькими способами можно выбрать определенное количество предметов, а потом в каждой такой выборке переставить объекты местами.

Немного сложно для понимания новичков, но после все становится на свои места, если попробовать решить несколько задачек.

Итак, в нашем случае нужно вычислить вероятность того, что из 16 человек будет выбрана пара из мальчика и девочки. Сначала нужно определиться, сколько вообще пар можно выбрать из 16 человек, если не обращать внимание на пол учащегося. Воспользуемся формулой сочетаний без перестановок: C₁₆² = 16! / ((16 - 2) ! x 2!) = (1 x 2 x ... x 16) / ((1 x 2 x ... x 14) x (1 x 2)) = (15 x 16) / 2 = 15 x 8 = 120.

Итак, всего 120 возможных пар. Сколько же существует возможных пар, состоящих и из девочки, и из мальчика? Союз "и" здесь очень важен, он предполагает умножение. То есть, чтобы узнать количество таких пар, нам нужно количество вариантов выбрать одного мальчика из 6 умножить на количество вариантов выбрать одну девочку из 10 девочек.

То есть, таких пар будет C₆¹ x C₁₀¹ = 6 x 10 = 60. Выбор такой пары будет "благоприятным" для нас исходом. Благоприятен он тем, что вероятность именно такого исхода нам нужно вычислить.

Воспользуемся теперь простой формулой: P (благоприятного события) = Количество благоприятных исходов / Количество исходов.

P (будет выбрана пара из мальчика и девочки) = 60/120 = 0.5

Решение с использованием умножения вероятностей

Этот подход занимает меньше времени, хотя и родственен с предыдущем. Здесь используется тот же принцип, что мы использовали, когда умножали сочетания. Нам нужно выбрать из 10 девочек и 6 мальчиков пару из мальчика и девочки. Какие пары вообще возможны в данном случае?

Пара мальчик-мальчик Пара девочка-девочка Пара мальчик-девочка Пара девочка-мальчик

Самое главное, это понимать, что последние две пары разные. Вычислим вероятность того, что сначала будет выбран мальчик, а потом девочка. Всего 6 мальчиков из 16 учеников. То есть, P (будет выбран мальчик) = 6/16. Вычислим теперь вероятность того, что после того, как был выбран мальчик, выбрали девочку. Важно не забыть, что теперь учеников стало 15, ведь одного уже выбрали для дежурства. P (будет выбрана девочка) = 10/15. Итак, вероятность выбора пары мальчик-девочка - это произведение вероятности того, что сначала будет выбран мальчик, на вероятность того, что потом будет выбрана девочка. P (мальчик-девочка) = (6/16) x (10x15) = 0.25

Теперь нужно вычислить вероятность выбора пары девочка-мальчик. P (девочка-мальчик) = (10/16) x (6/15) = 0.25

Если до этого союз "и" подсказал нам использование произведения, теперь нам нужно вероятности складывать, ведь нам не важно, будет ли сначала выбран мальчик или девочка.

P (будет выбрана пара из мальчика и девочки) = P (мальчик-девочка) + P (девочка-мальчик) = 0,25 + 0,25 = 0,5

Как видите, оба подхода дали нам одинаковый ответ.