Доказать, что при любом значении n чётное: 3^2n-2*3^n-5

Данное выражение обозначим через С = 3^{2 * n} - 2 * 3ⁿ - 5. Заметим, что выражение С примет целые значения, если n = 0 или n ∈ N, где N - множество натуральных чисел. Поскольку, для не целых чисел понятие чётности не имеет смысла, докажем чётность С при n = 0 или n ∈ N. Как известно, при возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются. (aⁿ) ^m = a^{n * m}, где a - любое число, а m и n - любые натуральные числа. Имеем 3^{2 * n} = (3ⁿ) ². Следовательно, С = (3ⁿ) ² - 2 * 3ⁿ - 5. Применяя формулу сокращенного умножения (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b² (квадрат разности), вычислим (3ⁿ - 1) ² = (3ⁿ) ² - 2 * 3ⁿ * 1 + 1² = (3ⁿ) ² - 2 * 3ⁿ + 1. Следовательно, С = (3ⁿ - 1) ² - 6. Очевидно, что при n = 0 или n ∈ N, число 3ⁿ нечётно. Поэтому, число 3ⁿ - 1 чётно. Таким образом, выражение С при n = 0 или n ∈ N, как разность двух чётных чисел, чётно. Что и требовалось доказать.