Существует ли такое целое число, которое при зачеркивании первой цифры уменьшится 1) в 57 раз 2) в 58 раз

Предположим, что такое число A существует и оно записывается цифрами a0, a1, ..., an:

(a0 a1 a2 ... an).

Тогда имеем место представление:

A = 10^n * a0 + (a1 a2 ... an).

1) Если существует такое целое число А, которое при зачеркивании первой цифры уменьшится в 57 раз, то:

A = 10^n * a0 + (a1 a2 ... an) = 57 * (a1 a2 ... an),

10^n * a0 = 56 * (a1 a2 ... an) = 7 * 8 * (a1 a2 ... an).

Отсюда вытекает, что 10^n * a0 должно делиться на 7. Так как 10^n не делится на 7,

то а0 должно делиться на 7.

Так как а0 - цифра (1, 2, 3, ..., 9), то а0 = 7. Следовательно:

10^n = 8 * (a1 a2 ... an).

Заметим, что 1000 = 8 * 125. Следовательно, число 7125 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 7125.

2) Аналогично можем получить:

A = 10^n * a0 + (a1 a2 ... an) = 58 * (a1 a2 ... an),

10^n * a0 = 57 * (a1 a2 ... an) = 3 * 19 * (a1 a2 ... an).

Значит, 10^n * a0 должно делиться на 19. Так как 10^n на 19 не делится, то

а0 должно делиться на 19, но а0 - цифра и а0 <=9.

Следовательно, такого числа А не существует.