Существует ли такие натуральные a, b, c, что (a+b) (b+c) (c+a) = 340

1. Из уравнения (1) следует:

(a + b) (b + c) (c + a) = 340. (1)

a) все множители являются делителями числа 340, превосходящими единицу;

b) сумма любых двух из них больше третьего.

2. Разложим число 340 на простые множители:

340 = 2^2 * 5^1 * 17^1.

3. Число 340 можно представить в виде произведения трех натуральных чисел, превосходящих единицу, четырьмя способами:

1) 340 = 2 * 2 * 85; 2) 340 = 2 * 5 * 34; 3) 340 = 2 * 10 * 17; 4) 340 = 4 * 5 * 17.

Во всех случаях сумма меньших двух чисел меньше большего числа, что противоречит утверждению 1. b. Следовательно, таких чисел не существует.

Ответ: не существует.