Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию (n+1) ! / (n-1) !=72

1. По определению, факториал числа n равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n:

n! = 1 * 2 * ... * (n - 1) * n. (1)

2. Из уравнения (1) получим соотношения:

(n + 1) ! = (n + 1) * n!; (n + 2) ! = (n + 2) * (n + 1) !; (n + 2) ! = (n + 2) * (n + 1) * n!. (2)

3. Воспользовавшись формулой (2), решим заданное уравнение:

(n + 1) ! / (n - 1) ! = 72; (n + 1) * n * (n - 1) ! / (n - 1) ! = 72; (n + 1) * n = 72; n^2 + n - 72 = 0; D = 1^2 + 4 * 72 = 289 = 17^2; n = (-1 ± 17) / 2; n1 = (-1 - 17) / 2 = - 18/2 = - 9, не уд. условию задачи; n2 = (-1 + 17) / 2 = 16/2 = 8.

Ответ: 8.