Число 25 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

Допустим, что х - это одно из положительных чисел, произведение которых равно 25. Очевидно, что, поскольку произведение этих чисел равно 25, то другое из этих чисел равно 25 / х. Обозначим через у сумму этих чисел. Тогда, для этой суммы, имеем: у = х + 25 / х. По требованию задания нужно найти такое значение х, для которого функция у (х) = х + 25 / х примет наименьшее значение. Найдём первую производную составленной функции: y′ (х) = 1 - 25 / х². Приравнивая к нулю это выражение, получим уравнение 1 - 25 / х² = 0, которое имеет два различных корня: х = - 5 и х = 5. По условию задания искомые числа должны быть положительными числами. Следовательно, х = - 5 - побочный корень. Рассмотрим х = 5. Нетрудно убедиться, что y′ (х) 0 для всех х ∈ (5; + ∞). Это означает, что функция у = х + 25 / х достигает своего минимального значения в точке х = 5. При этом её значение в этой точке равно у = 5 + 25 / 5 = 5 + 5 = 10.

Ответ: 25 = 5 * 5.