Можно ли разрезать квадрат со стороной 1 километри на 31 квадратик, один из которых имеет сторону не больше одного метра?

1 км = 1000 м.

Рассмотрим следующий способ разрезания квадрата: квадрат разрезается по двум линиям, соединяющим середины сторон этого квадрата, затем один из полученных квадратов разрезается по двум линиям, соединяющим середины его сторон, среди полученных на втором шаге квадратов выбирается один и разрезается таким же образом и т д.

На первом шаге получается 4 квадрата, на втором их число увеличивается на 3 и так далее.

Запишем последовательность числа квадратов на нескольких первых шагах, продолжать ее будем до тех пор, пока не получим число равное либо больше 31:

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31.

На каждом из шагов длина стороны квадрата уменьшается в два раза по сравнению полученным на предыдущем шаге квадратом.

Таким образом, длина стороны наименьшего из квадратов, полученных указанным способом на десятом шаге, будет равна:

1000 / 2^10 = 1000/1024 (м).

1000/1024 м < 1 м, следовательно, возможно разрезать квадрат со стороной 1 км на 31 квадрат так, чтобы длина стороны наименьшего из них была не больше метра.

Ответ: да, возможно.