Натуральные числа х и у меньше 2009. Известно, что х делится на 54, у делится на 31, х+у делится на 85. Докажите, что х-у делится на 23

1. Дано:

x, y ∈ N; x, y < 2009; x = 54m; y = 31n; m, n ∈ N.

2. Составим сравнение для суммы чисел по модулю 85:

x + y ≡ 0 (mod 85); 54m + 31n ≡ 0 (mod 85); 108m + 62n ≡ 0 (mod 85); 85m + 23m + 85n - 23n ≡ 0 (mod 85); 23m - 23n ≡ 0 (mod 85); 23 (m - n) ≡ 0 (mod 85); m - n ≡ 0 (mod 85); m ≡ n (mod 85). (1)

3. Если m ≠ n, то одно из чисел m или n больше 85. Тогда:

1) m > 85 = > x = 54m > 54 * 85 = 4590 > 2009; 2) n > 85 = > y = 31n > 31 * 85 = 2635 > 2009.

Следовательно, m = n.

4. Составим сравнение для разности чисел по модулю 23:

x - y ≡ 54m - 31n (mod 23); x - y ≡ 46m + 8m - 23n - 8n (mod 23); x - y ≡ 8m - 8n (mod 23); x - y ≡ 8 (m - n) (mod 23); x - y ≡ 8 * 0 (mod 23); x - y ≡ 0 (mod 23).

Что и требовалось доказать.