Arcsin (√3/2) - arcctg (-√3) + arccos 0 + arctg (-√3)

Будем использовать вот такие правила и формулы:

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x).

(x^n) ' = n * x^ (n-1).

(с) ' = 0, где с - const.

(с * u) ' = с * u', где с - const.

(аrсtg (x)) ' = 1 / (1 + х^2).

(u ± v) ' = u' ± v'.

(u / v) ' = (u'v - uv') / v².

Таким образом, производная нашей данной функции будет выглядеть следующим образом:

f (x) ' = (1 + 16x^2 / аrсtg (4x)) ' = ((1 + 16x^2) ' * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * (аrсtg (4x)) ') / (аrсtg (4x)) ^2 = (((1) ' + (16x^2) ') * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * (4x) ' * (аrсtg (4x)) ') / (аrсtg (4x)) ^2 = ((0 + 16 * 2 * x^1) ') * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * 4 * (1 / (1 + * (4 х) ^2))) / (аrсtg (4x)) ^2 = ((0 + 16 * 2 * x^1) ') * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * 4 * (1 / (1 + * (4 х) ^2))) / (аrсtg (4x)) ^2 = (32x * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * (4 / (1 + * 16 х^2))) / (аrсtg (4x)) ^2.

Ответ: f (x) ' = (32x * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * (4 / (1 + * 16 х^2))) / (аrсtg (4x)) ^2.