Найти все значения а для которых квадрат разности корней уравнения 2x квадрат - (а+1) x + а + 3=0 равен 1

Обозначим корни данного квадратного уравнения через x1 и х2.

Преобразуем выражение квадрата разности корней данного уравнения к следующему виду:

(х1 - х2) ^2 = х1^2 - 2 * х1 * х2 + х2^2 = х1^2 - 2 * х1 * х2 + х2^2 + 2 * х1 * х2 - 2 * х1 * х2 = х1^2 + 2 * х1 * х2 + х2^2 - 4 * х1 * х2 = (х1 + х2) ^2 - 4 * х1 * х2.

Согласно теореме Виета, имеют место следующие соотношения:

х1 + х2 = (а + 1) / 2;

х1 + х2 = (а + 3) / 2,

следовательно,

(х1 + х2) ^2 - 4 * х1 * х2 = ((а + 1) / 2) ^2 - 4 * (а + 3) / 2 = (а^2 + 2a + 1) / 4 - 2a - 6.

Найдем, при каких значениях а выполняется соотношение:

(а^2 + 2a + 1) / 4 - 2a - 6 = 1.

Решаем полученное уравнение:

а^2 + 2a + 1 - 8 а - 24 = 4;

а^2 - 6a - 23 = 4;

а^2 - 6a - 23 - 4 = 0;

а^2 - 6a - 27 = 0;

а = 3 ± √ (9 + 27) = 3 ± √36 = 3 ± 6:

а1 = 3 + 6 = 9;

а2 = 3 - 6 = - 3.

Подставляя найденные значения а в исходное уравнение, получаем:

при а = 9:

2 х^2 - 10x + 12 = 0

или

х^2 - 5 х + 6 = 0.

Дискриминант данного уравнения, равный 25 - 4 * 6 = 1 неотрицателен, следовательно, данное значение а = 9 подходит.

При а = - 3:

2 х^2 + 2 х = 0.

Данное уравнение также имеет 2 корня, следовательно, данное значение а = - 3 также подходит.

Ответ: а = 9 и а = - 3.