Как решить пример 1-3+5-7+9-11 + ... + 97-99

Предложенное выражение 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + ... + 97 - 99 - сумма нечетных чисел от 1 до 99, но каждое слагаемое с четным порядковым номером имеет отрицательный знак. Все выражение можно представить в виде разности двух сумм: 1 - 3 + 5 - 7 + 9 + ... + 97 - 99 = (1 + 5 + 9 + ... + 97) - (3 + 7 + 11 + ... + 99). Теперь задание свелось к определению суммы возрастающего ряда в двух вариантах или к вычислению сумм различных арифметических прогрессий.

Сумма арифметической прогрессии равна S (n) = (а (1) + а (n)) * n/2, где:

n - количество членов арифметической прогрессии; а (1) - первый член прогрессии; а (n) - последний член арифметической прогрессии. Значение первого слагаемого

Первое слагаемое 1 + 5 + 9 + ... + 97 имеет:

n1 = 25 членов арифметической прогрессии, так как от 1 до 100 всего 50 нечетных чисел, а этому ряду принадлежит только половина нечетных всех чисел интервала;

первый член прогрессии равен а1 (1) = 1;

последний член арифметической прогрессии - а1 (25) = 97;

значит, S1 (25) = (1 + 97) * 25/2 = 1225.

Значение второго слагаемого

Первое слагаемое 3 + 7 + 11 + ... + 99 имеет:

n2 = 25 также как и в первом случае;

первый член прогрессии равен а2 (1) = 3;

последний член арифметической прогрессии - а2 (25) = 99;

значит, S2 (25) = (3 + 99) * 25/2 = 1275.

Результат вычислений

Таким образом, заданное выражение 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + ... + 97 - 99 = 1225 + 1275 = 3500.

Используя сочетательный закон сложения, представим исходное выражение в следующем виде:

1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + ... + 95 - 96 + 97 - 99 = (1 - 3) + (5 - 7) + (9 - 11) + ... + (93 - 95) + (97 - 99).

Каждая разность внутри круглых скобок равна - 2 и всего таких разностей 25, следовательно, можем записать:

(1 - 3) + (5 - 7) + (9 - 11) + ... + (93 - 95) + (97 - 99) = (-2) + (-2) + (-2) + ... + (-2) + (-2) = - 2 - 2 - 2 - ... - 2 - 2 = (-2) * 25 = - 50.

Ответ: 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + ... + 95 - 96 + 97 - 99 = - 50.