Вычислите: sin4α, если ctg2α = - 2

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

sin4α = 2 sin2α * cos2α.

Согласно условию задачи, ctg2α = - 2.

Будем считать, что угол 2α лежит во второй четверти.

Тогда sin2α > 0, cos2α < 0.

Используя известные тригонометрические тождества cos^2 (2α) + sin^2 (2α) = 1 и sin^2 (2α) = 1 / (1 + ctg^2 (2α)), получаем:

sin2α = √ (1 / (1 + ctg^2 (2α))) = √ (1 / (1 + (-2) ^2)) = √ (1 / (1 + 4)) = √ (1/5) = √5/5;

cos2α = - √ (1 - sin^2 (2α)) = - √ (1 - (√5/5) ^2) = - √ (1 - 5/25) = - √ (20/25) = - √ (4/5) = - 2√5/5.

Следовательно,

sin4α = 2 (√5/5) * (-2√5/5) = - 4 * 5 / 25 = - 4/5.

Ответ: sin4α = - 4/5.