Найти значение х, при которых значение производной функции f (х) = 0 а) f (х) = (х-3) ^5 (2 х+6) б) f (х) = (х-4) ^2√х

Формула для вычисления производной произведения:

(f * g) ' = f' * g + f * g'.

Вычисляем производную и затем приравниваем ее к нулю.

а) f (х) = (х - 3) ⁵ (2 х + 6).

f' (х) = ((х - 3) ⁵) ' * (2 х + 6) + (х - 3) ⁵ (2 х + 6) ' = 5 (х - 3) ⁴ * (х - 3) ' * (2 х + 6) + (х - 3) ⁵ * 2 = 5 (х - 3) ⁴ (2 х + 6) + 2 (х - 3) ⁵ = (х - 3) ⁴ (5 (2 х + 6) + 2 (х - 3)) = (х - 3) ⁴ (10 х + 30 + 2 х - 6) = (х - 3) ⁴ (12 х + 24).

f' (х) = 0; (х - 3) ⁴ (12 х + 24) = 0.

Произведение тогда равно нулю, когда одна из скобок равна нулю.

(х - 3) ⁴ = 0; х = 3.

12 х + 24 = 0; 12 х = - 24; х = - 2.

Ответ: производная равна нулю при х = - 2 и х = - 3.

б) f (х) = (х - 4) ²√х.

f' (х) = ((х - 4) ²) ' * √х + (х - 4) ² * (√х) ' = 2 (x - 4) * (x - 4) ' * √x + (х - 4) ² * 1 / (2√х) = 2 (x - 4) √x + (х - 4) ² / (2√х) = (2 (x - 4) √x * 2√x + (х - 4) ²) / (2√х) = (4x (x - 4) + (х - 4) ²) / (2√х) = ((x - 4) (4x + х - 4)) / (2√х) = ((x - 4) (5x - 4)) / (2√х).

Дробь тогда равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

2√х не равно 0, х не равен 0.

(x - 4) (5x - 4) = 0;

х - 4 = 0; х = 4.

5 х - 4 = 0; 5 х = 4; х = 0,8.

Ответ: производная равна нулю при х = 0,8 и х = 4.