На восходе солнца из двух населенных пунктов одновременно вышли с разной скоростью два человека на встречу друг другу. В полдень они встретились, поприветствовали друг друга и пошли дальше в своих направлениях. Каждый продолжил движение с той же скоростью, с которой двигался с утра и до встречи. Через шесть часов после встречи первый человек пришел в начало пути второго, а второй добрался в место начала пути первого только в 21-00. Вопрос: во сколько был рассвет? Часы и минуты.

Пусть восход был в Х ч.

Тогда оба путника были в дороге до момента встречи:

T0 = 12 - Х ч.

При этом они вместе прошли за это время весь путь S со скоростью сближения V:

S = V * Т0 = V * (12 - Х);

При этом:

V = V1 + V2.

Первый путник прошел весь путь за:

T1 = Т0 + 6 = 12 - Х + 6 = 18 - Х ч.

Второй путник прошел весь путь за:

T2 = Т0 + 21 - 12 = 12 - Х + 21 - 12 = 21 - Х ч.

Скорость первого путника можно определить так:

V1 = S / Т1 = S / (18 - Х)

Скорость второго путника можно определить так:

V2 = S / Т2 = S / (21 - Х)

Скорость их сближения составит:

V = V1 + V2 = (S / (18 - X)) + (S / (21 - X)) = ((18 - X) * S + (21 - X) * S) / (21 - X) * (18 - X) = S * (18 - Х + 21 - Х) / (378 - 18 * Х - 21*Х + Х²) = S * (39 - 2 * Х) / (378 - 39 * Х + Х²).

Если скорость сближения путников:

V = S / T0 = S / (12 - X).

Уравняем ее с найденной выше скоростью сближения и разделим обе части уравнения на S:

S / (12 - X) = S * (39 - 2 * Х) / (378 - 39 * Х + Х²);

1 / (12 - X) = (39 - 2 * Х) / (378 - 39 * Х + Х²);

(39 - 2 * Х) * (12 - X) = 378 - 39 * Х + Х²;

468 - 24 * Х - 39 * Х + 2 * Х² = 378 - 39 * Х + Х²;

90 - 24 * Х + Х² = 0;

Уравнение приведено к виду a * х² + b * х + c = 0, где а = 1; b = - 24; с = 90.

Такое уравнение может иметь 2 решения:

х₁ = ( - b - √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (24 - √‾ ((-24) ² - 4 * 90)) / (2 * 1) = (24 - √‾ (576 - 360)) / 2 = (24 - √‾216) / 2 = (24 - √‾ (36 * 6)) / 2 = (24 - 6 * √‾6) / 2 = 12 - 3 * √‾6 ≈ 12 - 3 * 2,45 = 12 - 7,35 = 4,65;

х₂ = ( - b + √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (24 + √‾ ((-24) ² - 4 * 90)) / (2 * 1) = (24 + √‾ (576 - 360)) / 2 = (24 + √‾216) / 2 = (24 + √‾ (36 * 6)) / 2 = (24 + 6 * √‾6) / 2 = 12 + 3 * √‾6 ≈ 12 + 3 * 2,45 = 12 + 7,35 = 19,35;

Так как речь идет о восходе, второй корень можно отбросить, а первый переведем в часы и минуты:

Х = 4,65 ч = 4 ч + 0,65 ч = 4 ч + 0,65 * 60 мин = 4 ч + 39 мин = 4 ч 39 мин.

Ответ: восход был в 4 ч 39 мин.

Можно проверить себя и пойти по второму пути:

До момента встречи первый путник прошел:

S01 = V1 * T0 = V1 * (12 - X) = S * (12 - X) / (18 - X)

До момента встречи второй путник прошел:

S02 = V2 * T0 = V2 * (12 - X) = S * (12 - X) / (21 - X)

При этом:

S = S01 + S02 = S * (12 - X) / (18 - X) + S * (12 - X) / (21 - X) = (S * (12 - X) (21 - X) + S * (12 - X) (18 - X)) / (21 - X) = (S * ((12 - X) (21 - X) + (12 - X) (18 - X)) / (21 - X);

Разделим обе части уравнения на S:

((12 - X) (21 - X) + (12 - X) (18 - X)) / ((18 - X) (21 - X)) = 1;

(12 - X) (21 - X + 18 - X) / ((18 - X) (21 - X)) = 1;

(12 - X) (21 - X + 18 - X) / ((18 - X) (21 - X)) = 1;

(12 - X) (39 - 2 * X) = 1 * (21 - X) (18 - X);

(12 - X) (39 - 2 * X) = 378 - 39 * Х + X²;

468 - 24 * Х - 39 * Х + 2 * Х² = 378 - 39 * Х + X²;

90 - 24 * Х + Х² = 0;

Пришли к тому же уравнению, следовательно ответ будет тот же.