Докажите, что если x и y не кратны 3, то разность x^2-y^2 кратна 3.

1. Натуральные числа x и y, не кратные 3, можно представить в виде:

x = 3n1 + r1; y = 3n2 + r2, где n1, n2 = 0, 1, 2, ...; r1, r2 = 1, 2.

2. Разложим на множители разность квадратов:

x^2 - y^2 = (x + y) (x - y).

3. Рассмотрим случаи:

a) r1 = 1; r2 = 1;

x - y = 3n1 + 1 - 3n2 - 1 = 3 (n1 - n2), делится на 3;

b) r1 = 1; r2 = 2;

x + y = 3n1 + 1 + 3n2 + 2 = 3 (n1 + n2 + 1), делится на 3;

c) r1 = 2; r2 = 1;

x + y = 3n1 + 2 + 3n2 + 1 = 3 (n1 + n2 + 1), делится на 3;

d) r1 = 2; r2 = 2;

x - y = 3n1 + 2 - 3n2 - 2 = 3 (n1 - n2), делится на 3.

Что и требовалось доказать.