Через сколько времени температура тела нагретого до 100, понизится до 25 C, если температура помещения равна 20 C и за первые 10 мин тело охладилось до 60 C?

1. Пусть:

T1 = 100 °C - начальная температура тела; T2 = 60 °C - температура тела через 10 мин.; T3 = 25 °C - конечная температура тела; T0 = 20 °C - температура помещения.

2. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды:

dT/dt = k (T - T0), отсюда: dt = dT / (k (T - T0)); dt = - d (T - T0) / (k (T - T0)); t (T) = - ∫d (T - T0) / (k (T - T0)) = - 1/k * ∫d (T - T0) / (T - T0) = - 1/k * ln (T - T0) + С; {t (T1) = 0;

{t (T2) = 10; {-1/k * ln (T1 - T0) + С = 0;

{-1/k * ln (T2 - T0) + С = 10; {-1/k * ln (100 - 20) + С = 0;

{-1/k * ln (60 - 20) + С = 10; {-1/k * ln80 + С = 0;

{-1/k * ln40 + С = 10; {C = 1/k * ln80;

{-1/k * (ln40 - ln80) = 10; {C = 1/k * ln80;

{1/k * (ln80 - ln40) = 10; {C = 1/k * ln80;

{1/k * ln2 = 10; {C = 10/ln2 * ln80;

{1/k = 10/ln2; {C = 10ln80/ln2;

{1/k = 10/ln2; t (T) = - 1/k * ln (T - T0) + С; t (T) = - 10/ln2 * ln (T - T0) + 10ln80/ln2; t (T) = 10ln80/ln2 - 10/ln2 * ln (T - T0); t (T) = 10/ln2 (ln80 - ln (T - 20)); t (T) = 10/ln2 * ln (80 / (T - 20)); t (T) = 10log2 (80 / (T - 20)).

3. Проверим значения t (100), t (60) и вычислим t (T3):

t (100) = 10log2 (80 / (100 - 20)) = 10log2 (1) = 0; t (60) = 10log2 (80 / (60 - 20)) = 10log2 (80/40) = 10log2 (2) = 10; t (25) = 10log2 (80 / (25 - 20)) = 10log2 (80/5) = 10log2 (16) = 10 * 4 = 40 (мин.).

Ответ: через 40 мин.