Решить уравнение: 2 х^4+5 х^3+6 х^2+5 х+2=0

Поделим уравнение на х²:

2 х⁴ + 5 х³ + 6 х² + 5 х + 2 = 0.

2 х² + 5 х + 6 + 5/х + 2/х² = 0. Представим 6 как 4 + 2.

2 х² + 5 х + 4 + 2 + 5/х + 2/х² = 0

Сгруппируем одночлены: (2 х² + 4 + 2/х²) + (5 х + 5/х) + 2 = 0.

2 (х² + 2 + 1/х²) + 5 (х + 1/х) + 2 = 0.

Введем новую переменную, пусть х + 1/х = а.

Так как а² = (х + 1/х) ² = х² + 2 * x * 1/x + (1/x) ² = х² + 2 + 1/х².

Получается уравнение: 2 а² + 5 а + 2 = 0.

D = 25 - 16 = 9 (√D = 3);

а₁ = (-5 + 3) / 4 = - 2/4 = - 1/2.

а₂ = (-5 - 3) / 4 = - 8/2 = - 2.

Вернемся к замене х + 1/х = а.

а = - 1/2; х + 1/х = - 1/2; х + 1/х + 1/2 = 0; (2x² + x + 2) / 2x = 0; 2x² + x + 2 = 0; D = 1 - 16 = - 15 (нет корней).

а = - 2; х + 1/х = - 2; х + 1/х + 2 = 0; (х² + 2 х + 1) / х = 0; х² + 2 х + 1 = 0; D = 4 - 4 = 0 (один корень); х = - 2/2 = - 1.

Ответ: корень уравнения равен - 1.