Дан квадрат АВСD и точка О вне квадрата. Известно, что ОА = ОВ = 5, ОD = 13. Найдитеплощадь квадрата.

Точки О, В, А и D образуют четырехугольник ОВАD, состоящий из двух треугольников: равнобедренного АОВ (ОА = ОВ) и прямоугольного ВАD (угол ВАD = 90° - угол квадрата). Таким образом, угол ОВD = углу DАВ = 90° + 60° = 150°. Если АD = х, тогда ВD = 2^0,5 х.

По теореме косинусов в треугольнике OВD

ОD^2 = OB^2 + BD^2 - 2OB * BD cos 150°

или

169 = 25 + 2x^2 - 5 * 6^0,5 x,

откуда

2x^2 - 5 * 6^0,5 x - 145 = 0.

Дискриминант равен (-5 * 6^0,5) ^2 - 4 * 2 * (-145) = 1310.

х1 = (5 * 6^0,5 - 1310^0,5) / 4 < 0 - не имеет значения.

х2 = (5 * 6^0,5 + 1310^0,5) / 4.

Площадь квадрата АВСD равна ((5 * 6^0,5 + 1310^0,5) / 4) ^2 = 96,25 + 1,25 (1965) ^0,5.