Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=f (x) на данном промежутке f (x) = x^5-5x^4+5x^3+2, [-1; 2]

1. Найдем первую производную функции:

у' = (х^5 - 5 х^4 + 5 х^3 + 2) ' = 5 х^4 - 20 х^3 + 15 х^2.

2. Приравняем эту производную к нулю и найдем критические точки:

5 х^4 - 20 х^3 + 15 х^2 = 0;

5 х^2 * (х^2 - 4 х + 3) = 0;

5 х^2 = 0;

х = 0;

х^2 - 4 х + 3 = 0;

D = b^2 - 4ac = 16 - 12 = 4;

x1 = (-b + √D) / 2a = (4 + 2) / 2 = 3;

x2 = (-b - √D) / 2a = (4 - 2) / 2 = 1.

Точка х = 3 не пренадлежит заданному отрезку.

3. Найдем значение функции в точке х = 1 и на концах заданного отрезка [-1; 2]:

у (1) = 1^5 - 5 * 1^4 + 5 * 1^3 + 2 = 1 - 5 + 5 + 2 = 3;

у (-1) = (-1) ^5 - 5 * (-1) ^4 + 5 * (-1) ^3 + 2 = - 1 - 5 - 5 + 2 = - 9;

у (2) = 2^5 - 5 * 2^4 + 5 * 2^3 + 2 = 32 - 80 + 40 + 2 = - 6.

Ответ: fmax = 3, fmin = - 9.