X^2-8 (x+1) √x+18x+1=0

Сгруппируем слагаемые уравнения для выделения полного квадрата:

(x² + 2 * x + 1) + 16 * x - 8 * (x + 1) * √x = 0,

(x + 1) ² - 8 * (x + 1) * √x + 16 * x = 0.

Заметим, что из последнего выражения также можно выделить полный квадрат, получим:

(x + 1) ² - 2 * 4 * (x + 1) * √x + (4 * √x) ² = 0,

(x + 1 + 4 * √x) ² = 0,

x + 4 * √x + 1 = 0.

Заменяем переменную. Пусть y = √x, тогда получим равносильное уравнение:

y² + 4 * y + 1 = 0,

D = 16 - 4 = 12, √D = 2 * √3.

y = 2 + √3,

y = 2 - √3.

Следовательно:

√x = 2 + √3, откуда х = 7 + 4 * √3;

√x = 2 - √3, откуда х = 7 - 4 * √3.