Четыре последовательных целых числа дают в произведении 1680. Какие это могут быть числа?

1. Пусть:

x1 = n; x2 = n + 1; x3 = n + 2; x4 = n + 3; n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = 1680; (n^2 + 3n) (n^2 + 3n + 2) = 1680; (n^2 + 3n + 1 - 1) (n^2 + 3n + 1 + 1) = 1680; (n^2 + 3n + 1) ^2 - 1^2 = 1680; (n^2 + 3n + 1) ^2 = 1681 = 41^2; n^2 + 3n + 1 = ±41; n^2 + 3n + 1 ± 41 = 0.

2. Решим квадратные уравнения:

1)

n^2 + 3n + 1 + 41 = 0; n^2 + 3n + 42 = 0; D = 3^2 - 4 * 42 = 9 - 168 = - 159 < 0, нет решения.

2)

n^2 + 3n + 1 - 41 = 0; n^2 + 3n - 40 = 0; D = 3^2 + 4 * 40 = 9 + 160 = 169; n = (-3 ± √169) / 2 = (-3 ± 13) / 2;

a) n = (-3 - 13) / 2 = - 8;

x1 = - 8; x2 = - 7; x3 = - 6; x4 = - 5.

b) n = (-3 + 13) / 2 = 5;

x1 = 5; x2 = 6; x3 = 7; x4 = 8.

Ответ: (-8; - 7; - 6; - 5), (5; 6; 7; 8).