Найдите наибольшее из четырехзначных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1, при делении на 4 дают в остатке 2, при делении на 5 дают в остатке 3, при делении на 6 дают в остатке 4, при делении на 7 дают в остатке 5, при делении на 8 дают в остатке 6, при делении на 9 дают в остатке 7

Составление уравнений для условий задачи

Если натуральное число удовлетворяет этим семи условиям, т. е., при делении на 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 дает соответственно остатки 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, то его можно представить в виде:

x = 3a + 1; x = 4b + 2; x = 5c + 3; x = 6d + 4; x = 7e + 5; x = 8f + 6; x = 9g + 7,

где а, b, c, d, e, f и g - целые неотрицательные числа: 0; 1; 2 и т. д.

Поскольку во всех семи случаях остаток на 2 меньше делителя, то прибавив к обеим частям уравнений число 2, получим:

x + 2 = 3a + 3 = 3 (a + 1); x + 2 = 4b + 4 = 4 (b + 1); x + 2 = 5c + 5 = 5 (c + 1); x + 2 = 6d + 6 = 6 (d + 1); x + 2 = 7e + 7 = 7 (e + 1); x + 2 = 8f + 8 = 8 (f + 1); x + 2 = 9g + 9 = 9 (g + 1).

Из полученных уравнений следует, что число x + 2 делится без остатков на 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, стало быть, является их общим кратным.

Наименьшее общее кратное всех делителей

Общее кратное нескольких чисел кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Поэтому, для составления формулы для любого общего кратного, найдем наименьшее из них. Для этого разложим все делители на простые множители:

3 = 3; 4 = 2²; 5 = 5; 6 = 2 * 3; 7 = 7; 8 = 2³; 9 = 3²;

НОК (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2³ * 3² * 5 * 7 = 2520.

Наибольшее четырехзначное значение для x

Любое число, кратное этим числам, кратно 2520, следовательно, его можно представить в виде:

x + 2 = 2520 * k, где k ∈ Z, отсюда

x = 2520 * k - 2.

Из этого уравнения следует, что переменная x принимает наибольшее четырехзначное значение при k = 3:

x = 2520 * 3 - 2 = 7560 - 2 = 7558.

Ответ: 7558.

1. Пусть искомое четырехзначное число n удовлетворяет всем условиям задачи. Заметим, что для каждого из перечисленных делителей остаток на 2 меньше делителя. Следовательно, если прибавим 2 к числу n, то получим число, кратное всем делителям.

2. Найдем наименьшее общее кратное чисел:

НОК (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = НОК (5, 7, 8, 9) = 2520.

Тогда число n можно представить в виде:

n = 2520k - 2,

где k - произвольное натуральное число.

3. Наибольшее четырехзначное число получим при k = 3:

n = 2520 * 3 - 2 = 7560 - 2 = 7558.

Ответ: 7558.