Найдите значение функции y = 1/2 x^2 - 3x + 2 ln x в точке максимума.

1. Для нахождения точки максимума вычислим производную функции и найдем критические точки:

y = (1/2) x^2 - 3x + 2ln (x);

y' = x - 3 + 2 / x = 0;

x^2 - 3x + 2 = 0;

D = 3^2 - 4 * 2 = 9 - 8 = 1;

x = (3 ± 1) / 2;

x1 = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1;

x2 = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2.

Критические точки: 0; 1; 2.

2. Найдем знаки производной в промежутках:

a) x ∈ (-∞; 0), y' <0; b) x ∈ (0; 1), y'> 0; c) x ∈ (1; 2), y' <0; d) x ∈ (2; ∞), y'> 0.

x = 0; 2 - точки минимума;

x = 1 - точка максимума;

y (1) = (1/2) * 1^2 - 3 * 1 + 2ln (1) = 1/2 - 3 = - 2,5.

Ответ: - 2,5.