Докажите, что на 8 делится: 1) куб четного числа 2) разность квадратов двух нечетных чисел

1)

Всякое четное число можно записать в виде 2 * k, где k - некоторое целое число.

Возведем выражение 2 * k в куб:

(2 * k) ^3 = 2^3 * k^3 = 8 * k^3.

Из полученного представления следует, что куб выражения 2 * k делится на 8, следовательно, куб всякого четного числа делится на 8.

2) Пусть х и у - нечетные числа.

Тогда данные числа можно записать в виде:

х = 2 * k + 1;

у = 2 * n + 1,

где k и n - некоторые целые числа, а разность квадратов этих чисел будет составлять:

х^2 - y^2 = (x - y) * (x + y) = (2 * k + 1 - 2 * n - 1) * (2 * k + 1 + 2 * n + 1) = (2 * k - 2 * n) * (2 * k + 2 * n + 2) = 2 * (k - n) * 2 * (k + n + 1) = 4 * (k - n) * (k + n + 1).

Покажем, что одно из чисел k - n или k + n + 1 будет четным.

Если оба числа k и n четные или оба числа k и n нечетные, то их разность k - n также будет четной.

Если одно из этих чисел четное, а другое нечетное, то выражение k + n + 1 будет четным.

Следовательно, выражение х^2 - y^2 является произведением числа 4 и четного числа, следовательно, делится на 8.