Некоторое число m (m принадлежит Z) даёт при делении на 8 остаток 3. Какой остаток получится при делении на 8 числа m2 (квадрат) + 3m + 2?

1. Решим задачу с помощью сравнений. Известно, что:

m ≡ 3 (mod 8). (1)

2. Возведем в квадрат обе части сравнения (1):

m^2 ≡ 3^2 (mod 8); m^2 ≡ 9 (mod 8); m^2 ≡ 8 + 1 (mod 8); m^2 ≡ 1 (mod 8). (2)

3. Умножим обе части сравнения (1) на 3:

3m ≡ 3 * 3 (mod 8); 3m ≡ 9 (mod 8); 3m ≡ 1 (mod 8). (3)

4. Сложим почленно сравнения (2) и (3), и прибавим двойку к обеим частям:

m^2 + 3m ≡ 1 + 1 (mod 8); m^2 + 3m ≡ 2 (mod 8); m^2 + 3m + 2 ≡ 2 + 2 (mod 8); m^2 + 3m + 2 ≡ 4 (mod 8). (4)

Остаток при делении m^2 + 3m + 2 на 8 равен 4.

Ответ: 4.