Решить неравенства (1/9) ^x-6 * (1/3) ^x-27<=0

Так как 1/9 = (1/3) ², то получается неравенство:

(1/9) ^x - 6 * (1/3) ^x - 27 ≤ 0.

(1/3) ^{2 х} - 6 * (1/3) ^x - 27 ≤ 0.

Произведем замену, пусть (1/3) ^х = а.

Получается неравенство: а² - 6 а - 27 ≤ 0.

Рассмотрим функцию у = а² - 6 а - 27, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции, точки пересечения с осью х: у = 0.

а² - 6 а - 27 = 0.

D = 6² - 4 * (-27) = 36 + 108 = 144 (√D = 12).

а₁ = (6 - 12) / 2 = - 3.

а₂ = (6 + 12) / 2 = 9.

Отмечаем на прямой точки - 3 и 9. Рисуем параболу, проходящую через эти точки, ветвями вверх. Знак неравенства ≤ 0, значит решением будет промежуток, где парабола находится ниже прямой х. То есть [-3; 9].

Значит, а ≥ - 3 и а ≤ 9.

Возвращаемся к замене (1/3) ^х = а.

а ≥ - 3; (1/3) ^х ≥ - 3 (х - любое число).

а ≤ 9; (1/3) ^х ≤ 9; (1/3) ^х ≤ (1/3) ^-2; х ≥ - 2. Знак перевернулся, так как 1/3 меньше единицы.

Ответ: х принадлежит промежутку [-2; + ∞).